一般项级数
基础知识¶
定理(Dirichlet 判别法)
若 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n\) 部分和有界，\(b_n\)单调趋于\(0\)，则 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_nb_n\) 收敛。
定理(Abel 判别法)
若 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n\) 收敛，\(b_n\) 单调有界，则 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_nb_n\) 收敛。
- 如何进行记忆：用个小口诀记住关键字，狄利克雷阿贝尔判别法怎样记才不会混淆不会忘？ - 知乎。
典型题型：\(\sin nx, \cos nx\) 求和问题¶
(1)一般形式：数列 \(a_n\) 单调递减且 \(\lim \limits _{n \rightarrow \infty} a_n = 0, x \neq 2k\pi\)，证明 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n \sin nx, \sum\limits_{n= 1}^{+\infty}a_n \cos nx\) 收敛。
(2)变形1：证明对 \(\forall x \in (0,2\pi)\)，\(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}\frac{\sin nx}{n}, \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{\cos nx}{n}\) 均条件收敛（课本例题）
(3)变形2： \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin n \cdot \sin n^2}{n}\)
(4)变形3：\(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{\cos ^2 n}{n}\)