交错级数

非正项级数一般使用以下步骤尝试进行求解：

• 优先判断是否绝对收敛：正项级数判别法。
• 判断是否条件收敛：Leibniz 判别法、Dirichlet 判别法、Abel 判别法。
• 不满足条件收敛任何一条判别法，尝试判断发散：不满足收敛必要条件、柯西收敛准则逆否命题。

绝对收敛与不收敛¶

• \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{\cos \frac{n\pi}{3}}{n(\ln n)^2 + 1}\)
• \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{e^n \cdot n!}{n^n}\)

条件收敛¶

Leibniz 判别法需要两个条件：交错+单调递减，其中交错非常容易判断，而单调递减可以考虑前后相减/相除或者求导的方法。

• \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n \sin \frac{\pi}{n}\)
• \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^{1 + \frac{1}{n}}}\)

三角交错级数¶

注意善于正向和逆向地使用 三角函数和差公式 中的结论。

• 课本例题：\(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \sin (\pi \sqrt{n^2 + 1})\)
• 课后题：\(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \sin (\pi\sqrt{n^2 + 4})\)
• 课后题：\(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \sin \left( n\pi + \frac{1}{n^2} \right)\)