比较判别法2

对数、指数与多项式比较¶

前面遗漏了一种题型，就是判别既含对数/指数，又含多项式的正项级数，对此我们有以下结论：

命题. 当 \(n \rightarrow +\infty\) 时，\(\ln n < n^{\epsilon}\)，\(e^n > n^{+\infty}\)

证明：(1)\(\ln n < n^{\epsilon}\)：只需用比较判别法极限形式和洛必达法则即可：

\[ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n^{\epsilon}} = \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1/n}{\epsilon n^{\epsilon-1}} = \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\epsilon}} = 0 \]

(2)\(e^n > n^{+\infty}\) 同理

对应的习题有

(1)\(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{\frac{4}{3}}}\)：由于我们知道 \(\ln n < n^{\epsilon}\)，因此只需要任意取 \(1 < p < \frac{4}{3}\) 作为比较对象即可。