旋转面、锥面、柱面

旋转面¶

• 旋转面：曲线绕直线旋转一周形成的曲面。
• 如何确定一个旋转面：旋转轴+曲线。
• 如何计算一个旋转面方程：对于旋转面上任意一点 \((x,y,z)\)，都源自于曲线上一点 \((x_0,y_0,z_0)\)，设它们向旋转轴作垂线交旋转轴于\(P\)，则
  • 使得它们到旋转轴的距离相等（第一个方程）
  • 过 \((x,y,z), (x_0,y_0,z_0), P\) 三点的平面与旋转轴垂直（第二个方程）
  • \((x_0,y_0,z_0)\) 满足曲线方程（第三个方程）
  • 消去 \(x_0,y_0,z_0\) 则得到旋转面方程

柱面¶

• 柱面：一条直线沿一条曲线平行移动形成的曲面。
• 母线：平行移动的直线。
• 准线：沿着的曲线。
• 如何确定一个柱面：母线+准线
• 如何计算一个柱面方程：对于柱面上任意一点 \(P(x,y,z)\)，都存在准线上一点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\)，使得 \(\overrightarrow{PP_0}\) 平行于母线，此时
  • \(\overrightarrow{PP_0}\) 平行于母线（两个方程）
  • \(P_0\) 位于准线上（第三个方程）
  • 消去 \(x_0,y_0,z_0\) 则得到柱面方程

锥面¶

• 锥面：一条过定点的直线沿着不过此点的一条曲线移动形成的曲面。
• 顶点
• 母线：过定点的直线。
• 准线：所沿曲线。
• 如何确定一个锥面：顶点 \(A\) + 准线 \(\Gamma\)
• 如何计算锥面方程：对于锥面上任意一点 \(P(x,y,z)\)，一定存在准线 \(\Gamma\) 上一点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 使得
  • \(\overrightarrow{AP}\) 平行于 \(\overrightarrow{AP_0}\)（两个方程）
  • \(P_0\) 位于 \(\Gamma\) 上
  • 消去 \(x_0,y_0,z_0\) 得到锥面方程