数项级数与部分和数列

和函数的定义¶

已知级数 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}\)

(1) 求级数前 5 项，求部分和 \(S_n\)

(2) 用级数收敛定义判断是否收敛，求级数的和。

等比数列求和¶

(1) \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^n}\)

等差比数列求和¶

(1) \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{2n-1}{2^n}}\)

裂项求和¶

(1) 直接裂项1：\({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \left( \sqrt{n+2} - 2 \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \right)}\)

(2) 直接裂项2：\({\displaystyle \sum\limits_{n = 2}^{+\infty} \ln \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)}\)

(3) 直接裂项3：\(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{2n+1}{n(n+1)}\)

(4) 化简裂项： \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n^2 + n}}}\)

(5) 分母三项： \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}\)

(6) 特殊题：\({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \arctan \frac{1}{2n^2}}\) ：使用 arctan 和差公式。