比较判别法
- 比较判别法最重要的比较对象是 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^p}\)。
命题.(\(p-\)级数的收敛性)
\(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^p}\) 在 \(p \leq 1\) 时发散，\(p > 1\) 时收敛。
证明：可以用课本 P6 的证法，不过我更喜欢用积分判别法。
- 一般形式与极限形式：只要等价无穷小玩得熟练，基本都能直接看出来，考试的时候再用极限形式写一下就行。
极限形式基础题¶
- \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} \sim \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n}\)
- \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} 3^n \sin \frac{\pi}{4^n} \sim \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{3}{4} \right)^n\pi\)
- \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n\sqrt[n]{n}} \sim \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n}\)
典型错误：由于 \(n \sqrt[n]{n} = n^{1 + \frac{1}{n}}\)，而 \(1 + \frac{1}{n} > 1\) 因此收敛。
对数相关¶
命题. \(a^{\ln b} = b^{\ln a}\)
证明：两侧取对数即可。
- \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{3^{\ln n}}\)
- \(\sum\limits_{n = 2}^{+\infty} \frac{1}{(\ln n)^n}\)
- \(\sum\limits_{n = 2}^{+\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}\)
相对难一点的等价无穷小¶
熟练掌握 常用等价无穷小！
- \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (\sqrt[n]{2} - 1) \sim \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}\frac{\ln 2}{n}\)
- \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left( 1 + \frac{2}{n-1} \right) \sim \frac{2}{\sqrt{n}(n-1)}\)
- \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \left( e - (1 + \frac{1}{n})^n \right) \sim \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{e}{2n}\)
- \(\sum\limits_{n = 2}^{+\infty} \left( \sqrt[n]{2} + \frac{1}{\sqrt[n]{2}} - 2 \right) = \sum\limits_{n = 2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{2}} (\sqrt[n]{2} - 1)^2 \sim \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{2}} \frac{(\ln 2)^2}{n^2}\)