Cauchy 收敛准则及其逆否命题
- 如何记住 Cauchy 收敛准则逆否命题？
定理(命题取否)
对于一个逻辑命题，将 \(\forall, \exists\) 改为 \(\exists, \forall\)，并将最终结论取反，则获得其否命题。
例.(Cauchy 收敛准则取否)
- 原命题：\({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} a_n}\) 收敛当且仅当 \(\forall \epsilon > 0, \exists N > 0, \forall n > N, \forall p \in \mathbb{Z}^+\) 有
\[ |S_{n+p} - S_n| < \epsilon\]
- 逆否命题：\({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n}\) 发散当且仅当 \(\exists \epsilon > 0, \forall N > 0, \exists n > N, \exists p \in \mathbb{Z}^+\) 使得
\[ |S_{n+p} - S_n| \geq \epsilon\]
- 注意：先取的值不能与后取的值相关。
用 Cauchy 收敛准则判断敛散性¶
用 Cauchy 收敛准则判断敛散性：
(1) \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}\)
典型错误：\(n\) 为偶时
\[ \begin{align} |S_{n+p} - S_n| &= \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n+p-1} - \frac{1}{n+p} \right)\\ &= \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \cdots + \frac{1}{(n+p-1)(n+p)}\\ &< \frac{p}{n^2} < \frac{p}{n^2} + 1 \end{align}\]同理 \(n\) 为奇时也有 \(|S_{n+p}- S_n| < \frac{p}{n^2}+1\)，因此取 \(N = \sqrt{\frac{p}{\epsilon}}\)，则 \(n > N\) 时有
\[ |S_{n+p} - S_n| < \frac{p}{n^2} + 1 = \epsilon \](2) \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}}\)
调和级数相关¶
(1) 证明 \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n}}\) 发散
(2) 证明 \({\displaystyle a_n = \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k} - \ln n}\) 极限存在
(3) 证明 \({\displaystyle \lim \limits _{n \rightarrow +\infty} \frac{1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}}{\ln n} = 1}\)