向量的运算

向量点积¶

定义(向量内积). 给定向量 \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\) ，则它们的内积为

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cos \theta \]

其中 \(\theta\) 是 \(\mathbf{a},\mathbf{b}\) 的夹角。

命题(内积与垂直). 向量 \(\mathbf{a},\mathbf{b}\) 垂直当且仅当它们内积为 \(0\)。

命题(内积的坐标表达). 向量 \(\mathbf{a} = (x_1,y_1,z_1), \mathbf{b} = (x_2,y_2,z_2)\) ，则它们的内积为

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \]

向量外积¶

定义(向量外积). 给定向量 \(\mathbf{a},\mathbf{b}\) ，定义 \(\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 是长度为 \(|\mathbf{c}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \sin \theta\) ，方向与 \(\mathbf{a},\mathbf{b}\) 满足右手准则的向量。

命题(外积的运算率). 外积 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 满足如下基本性质：

• 反交换率：\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = - (\mathbf{b} \times \mathbf{a})\)
• 结合率：\(k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})\)
• 分配率：\(\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}\)

命题(外积与平行). 向量 \(\mathbf{a},\mathbf{b}\) 平行当且仅当它们的外积为 \(\mathbf{0}\) 。

命题(外积的坐标表达). 若向量 \(\mathbf{a},\mathbf{b}\) 在直角坐标系表示为 \((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\) ，则它们的外积可表示为：

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \end{array} \right| \]

向量混合积¶

定义(向量混合积). 给定向量 \(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\) 称

\[ (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \sin \theta \cdot |\mathbf{c}| \cos \alpha \]

为 \(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\) 的混合积，其中 \(\theta\) 为 \(\mathbf{a},\mathbf{b}\) 的夹角，\(\alpha\) 为 \(\mathbf{c}\) 与 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 的夹角。

命题(混合积与共面). 向量 \(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\) 共面当且仅当它们的混合积为 \(0\)。

命题(混合积的坐标表达). 向量 \(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\) 在直角坐标系下的坐标为 \((x_i,y_i,z_i)\) 则它们的混合积为

\[ (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \left| \begin{array}{ccc} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3 \end{array} \right| \]