空间直线与平面

平面方程¶

三维空间中平面法向量与平面上一点可唯一确定一个平面，其余格式都由此格式推导：

• 点法式：\(A(x-x_0) + B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0\)
• 一般式： \(Ax+By+Cz+D=0\)
• 截距式：\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

命题(点面距离公式). 给定三维空间中一点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 以及平面 \(Ax + By + Cz = 0\)，则它们之间的距离为：

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

直线方程¶

三维空间中直线方向向量+直线上一点可唯一确定一条直线，设方向向量为 \((u_x,u_y,u_z)\) 则

• 点向式：\(\frac{x-x_0}{u_x} = \frac{y-y_0}{u_y} = \frac{z-z_0}{u_z}\)
• 参数式： \(x = x_0 + u_xt, y = y_0 + u_yt, z = z_0 + u_zt\) （一般列方程时用这个）
• 两点式：\(\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z - z_1}{z_2-z_1}\)
• 一般式：两个平面的交

问题. 如何获得两个平面交线的表达式：将两个平面方程化简为 \(x = f(z), y = g(z)\) ，然后令 \(t = z\) 即可获得参数式方程。

例. 获得 \(x +y - z = 1, 2x + z = 3\) 两个平面的交线。

解. 可化简为 \(x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}z, y = \frac{3}{2}z - \frac{1}{2}\)，即可化为参数方程形式。