幂级数收敛域

根据收敛半径的性质，如果收敛半径为\(r\)，则幂级数在收敛区间 \((-r,r)\) 一定是收敛的，而端点则需要通过数项级数的判别方法判别是否收敛，因此一般的步骤为：

• 求出幂级数的收敛半径：根式或比式。
• 判断端点处级数是否收敛。

一般形式¶

对于 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_nx^n\) 的幂级数，直接按照上述步骤即可。

• \(\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{(n+1) \cdot 2^n}\)
• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{3^n}{n^2} + \frac{n}{2^n} \right)\)
• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \right)x^n\)
• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}}x^n\)
• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{n}x^n\)

稍加变化¶

对于 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n [p(x)]^n\) 的幂级数，令 \(t = p(x)\)，视为 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n t^n\) 处理。

• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{(x+1)^{2n}}{n\cdot 4^n}\)
• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2}x^{2n}\)
• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \cdot 3^n x^{2n}\)
• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{(x^2+x+1)^n}{3n}\)