幂级数求和

微乙难度大致只包含两类：\(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_nx^n\) 型与 \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n-1}, \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\) 型。

\(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_nx^n\) 型¶

要求熟练掌握 \(\sum\limits_{n = 0}^{\infty} x^n, \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n x^n\) 的 Taylor 展开（具体见 常用 Taylor 展开）

• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (n+1)x^{n-1}\)
• \(\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n+1}\)
• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n-1}\)
• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} n^2x^n\)
• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)\cdot 4^n}\)

带 \((-1)^n\) 型¶

这类基本上常考 \(\arctan x, \ln(1+x)\) 的展开，因此一定要熟练记忆 它们的 Taylor 展开以及推导过程。

• \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(2n-1)}\)