反函数求导

定理 (反函数求导)

设 \(y = y(x)\) 的反函数为 \(x = x(y)\)，则

\[ y^{\prime}(x) = \frac{1}{x^{\prime}(y(x))} \]

实际计算时不一定要更换目标变量，可以直接两侧求导，具体见以下常用例子：

计算以下函数的导数：(1)\(\arcsin x\) (2)\(\arctan x\)

解. (1)设 \(y(x) = \arcsin x\)，可写为 \(x = \sin y(x)\)（注意这里变量为 \(x\)），两侧对 \(x\) 求导得到

\[ 1 = \cos y \cdot y^{\prime} \Rightarrow y^{\prime} = \frac{1}{\cos y}\]

画一个直角三角形，\(y\) 是三角形的一个角，\(y\) 角对面的直角边为 \(x\)，斜边为 \(1\)，另一个直角边为 \(\sqrt{1-x^2}\)，因此 \(\cos y = \sqrt{1-x^2}\)，即

\[ (\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

(2)同理有 \(x = \tan y(x)\)，两侧求导+画三角形。