反三角函数恒等式

命题. \(\arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x+y}{1-xy}\)

证明：根据 \(\tan x\) 和差公式 ，令 \(x = \tan \alpha, y = \tan \beta\) ，则得到

\[ \tan(\arctan x + \arctan y) = \frac{x+y}{1-xy} ,\]

从而得到 \(\arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x+y}{1-xy}\)。

命题. \(\arctan x - \arctan y = \arctan \frac{x-y}{1+xy}\)

证明：根据 \(\tan x\) 和差公式 ，令 \(x = \tan \alpha, y = \tan \beta\) ，则

\[ \tan(\arctan x - \arctan y) = \frac{x - y}{1+xy}, \]

从而得到 \(\arctan x - \arctan y = \arctan \frac{x-y}{1+xy}\)。

命题. \(\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}\)

证明：画个直角三角形，角 \(\theta_1\) 对着边长 \(1\)，\(\theta_2 = \frac{\pi}{2} - \theta_1\) 对着边长 \(x\)，则 \(\tan \theta_1 = \frac{1}{x}, \tan \theta_2 = x\)，两角互补。