不等式基础
基本不等式¶
\[
\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}} \leq \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n} \leq \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \leq \sqrt{\frac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{n}}
\]
对数不等式¶
\[
\frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) \leq x
\]
调和级数不等式¶
命题(调和级数不等式)
\[\ln(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} < 1 + \ln n\]证明：根据对数不等式 \(\displaystyle \frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) \leq x\) 得到 \({\displaystyle \frac{1/n}{1+1/n}< \ln(1 + \frac{1}{n}) < \frac{1}{n}}\) ，即
\[ \frac{1}{n+1} < \ln \frac{n+1}{n} < \frac{1}{n}, \]求和得到
\[ 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} < 1 + \ln \frac{2}{1} + \cdots + \ln \frac{n}{n-1} = 1 +\ln n \]另一侧同理。