数项级数基本概念

这里考虑一个简单的问题，比如我们在吃一个蛋糕，第一次吃 \(\frac{1}{2}\) 个，第二次吃 \(\frac{1}{4}\) 个，以此类推。如果我们考虑我们每次吃了多少蛋糕，则可以写为一个数列 \(a_n = \frac{1}{2^n}\)，那如果我们考虑当前总共吃了多少，那么就需要表示成 \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^n}\)，这就是数项级数的基本想法，例如我们想知道我们吃了无穷次后总共吃了多少蛋糕，也就对应这数项级数的极限。

数项级数的基本概念¶

定义(数项级数)

给定无穷个实数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots \in \mathbb{R}\) ，则将它们的和式

\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots \]

称为数项级数，记为 \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n}\) 。

可以看出数项级数即一个数列的求和，若引入其和数列 \(S_n\) ，则数项级数可以等价于和数列，这就将数项级数的研究转化为对和数列的研究。

定义(数项级数和式)

给定数项级数 \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n}\)，则定义前 \(n\) 项和为

\[ S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n, n \in \mathbb{N}^+ \]

命题(数项级数与和式的等价性)

给定数项级数 \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n}\) 以及其和式 \(S_n\)，则

\[ \sum\limits_{n = 1}^{N}a_n = S_N.\]

数项级数的敛散性¶

刚刚提到可以用和数列代替研究数项级数，因此可以用和数列的收敛性来定义数项级数的收敛性。

定义(数项级数的敛散性)

给定数项级数 \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n}\) 及其和函数 \(S_n\)，若极限 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n = \lim \limits _{n \rightarrow +\infty}S_n\) 存在，则称数项级数是收敛的，否则称数项级数是发散的。

虽然我们已经对数列 \(S_n\) 的敛散性有充分的研究，也可以据此导出数项级数的敛散性。但为了方便起见，我们其实不希望每次都算出和式再判别数项级数的敛散性（有时候甚至求不出和式），而希望通过 \(a_n\) 单项来判，对一般的数项级数最基本的就是以下几个结论。

定理(数项级数收敛的必要条件)

若数项级数 \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n}\) 收敛，则必然有 \({\displaystyle \lim \limits _{n \rightarrow +\infty}a_n = 0}\)

证明：由于 \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n}\) 收敛，根据数项级数收敛的定义，有 \({\displaystyle \lim \limits _{n \rightarrow \infty}S_n}\) 收敛，从而有

\[ \lim \limits _{n \rightarrow +\infty}a_n = \lim \limits _{n \rightarrow +\infty}(S_n - S_{n-1}) = S - S = 0. \]

上述必要条件主要用于判定级数的发散性，例如以下级数的和函数总是在 \(-1,0\) 来回跳转，显然不收敛。

例. 证明 \({ \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}(-1)^n}\) 是发散的。

定理(数项级数收敛充要条件：Cauchy收敛准则)

数项级数 \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n}\) 收敛当且仅当对 \(\forall \epsilon > 0, \exists n > 0\) 对 \(\forall p \in \mathbb{Z}^+\) 有

\[ |S_{n+p} - S_n| = \sum\limits_{k = n+1}^{n+p}a_k < \epsilon. \]

证明：根据数列的 Cauchy 收敛准则可知满足条件时 \(\lim \limits _{n \rightarrow \infty}S_n\) 存在，因此 \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n}\) 收敛。

Cauchy 收敛准则可用于判定所有数项级数的收敛性，但是用 Cauchy 收敛准则判定收敛性不一定方便，因此我们一般只先用 Cauchy 收敛准则判定几个重要的数项级数，其余数项级数仍需要使用后续正项级数、交错级数等收敛准则判定。

例. 用 Cauchy 收敛准则证明 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\) 是收敛的。

推论(Cauchy 收敛准则逆否命题)

数项级数 \({\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n}\) 发散当且仅当 \(\exists \epsilon > 0, \forall n > 0, \exists p \in \mathbb{Z}^+\) 使得

\[ |S_{n+p} - S_n| = \sum\limits_{k = n+1}^{n+p} a_k \geq \epsilon. \]

Cauchy 收敛准则逆否命题往往用于判定几个临界级数的发散性，下面的调和级数是后续为比较判别法提供判定依据的一个重要例子。

例. 用 Cauchy 收敛准则逆否命题证明 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n}\) 是发散的。

数项级数的基本性质¶

有时我们知道 \(\sum \limits_{n = 1}^{\infty} a_n, \sum \limits_{n = 1}^{\infty} b_n\) 的性质，也想用它们的性质直接推导出一些新的级数，例如 \(\sum \limits_{n = 1} ^{+\infty} (k_1 a_n + k_2 b_n)\), 有限项被改变的级数，任意加括号的级数的性质，下面分别列举这种新级数的性质。

命题(级数的线性性)

若 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n, \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}b_n\) 收敛，则对 \(\forall k_1,k_2 \in \mathbb{R}\)，\(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (k_1a_n + k_2b_n)\) 也收敛，且

\[ \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (k_1 a_n + k_2b_n) = k_1 \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n + k_2 \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}b_n. \]

命题. 改变数项级数中的有限项不改变级数敛散性。

证明：改变有限项相当于改变一个常数 \(C\)，若原本满足 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n = A\)，则改变后满足 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}b_n = A + C\) 仍然收敛。

命题. 收敛数项级数任意添加括号后所得级数仍然收敛，且和不变。

证明：设 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n\) 对应和函数 \(S_n\)，例如加括号的格式如下，其中 \(n_0 = 0\)，

\[\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} a_n = (a_{n_0 + 1} + \cdots + a_{n_1}) + (a_{n_1+1} + \cdots + a_{n_2}) + \cdots,\]

则记 \(b_i = \sum\limits_{k = n_i +1}^{n_{i+1}}a_{k}\) ，则得到新级数 \(\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}b_n\)，其和函数为 \(S_n^{\prime}\)，则显然有

\[ \lim \limits _{n \rightarrow \infty}S_n = \lim \limits _{n \rightarrow \infty}S_n^{\prime},\]

即两个级数均收敛，且极限相同。