自然底数

引理. ( \((1 + \frac{1}{n})^n\) 的单调性)

数列 \(a_n = (1 + \frac{1}{n})^n\) 是单调递增的。

证明：使用平均值不等式 \(\displaystyle \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n}\) 可知

\[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n < \left( \frac{1 + n (1 + \frac{1}{n})}{n+1} \right)^{n+1} = \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1}\]

引理. (\((1 + \frac{1}{n})^n\) 的有界性)

数列 \(a_n = (1 + \frac{1}{n})^n\) 是有界的。

证明：使用二项式展开

\[ \begin{align} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n &= \sum\limits_{k = 0}^n {n \choose k} \frac{1}{n^k}\\ &= 1 + 1 + \sum\limits_{k = 2}^n \left( \frac{1}{k!} \prod \limits_{l = 1}^{k-1} \left( 1 - \frac{l}{n} \right) \right)\\ &\leq 1 + \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k!}\\ &\leq 1 + \sum\limits_{k = 0}^{n-1}\frac{1}{2^k}\\ &= 3 - \frac{1}{2^{n-1}} < 3 \end{align}\]

命题. 数列 \(a_n = (1 + \frac{1}{n})^n\) 是收敛的。

证明：结合上述两个引理以及单调有界定理即可。

定义(自然底数 \(e\) )

定义自然底数 \(e = \lim \limits _{n \rightarrow +\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\)