Euler 常数

命题. 极限 \({\displaystyle \gamma = \lim \limits _{n \rightarrow \infty} a_n = \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \left[ \left( \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k} \right)- \ln n \right]}\) 存在。

证明：根据 调和级数不等式 不等式可知

\[\lim \limits _{n \rightarrow \infty} \ln \frac{n+1}{n}= 0 < \gamma < 1 \]

而根据 对数不等式 可知 \({\displaystyle a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \ln(n+1) + \ln n = \frac{1}{n+1} - \ln (1 + \frac{1}{n}) < 0}\) ，因此 \(a_n\) 单调递减有下界，故收敛。

定义(Euler 常数)

定义 \({\displaystyle \gamma = \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \left[ \left( \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k} \right) - \ln n \right] }\) 为 Euler 常数。

推论. 调和级数满足如下性质

\[ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}}{\ln n} = 1 \]

证明：由于 \(\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)\)，显然。