Wallis 公式

定理(Wallis 公式)

当 \(n \rightarrow +\infty\) 时，\({\displaystyle \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \sim \sqrt{n\pi}}\)，更具体地，

\[ \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right]^2\frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2} \]

证明：根据 \(\sin^{2n+1}x < \sin^{2n}x < \sin^{2n-1}x\) 得到

\[\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}x \mathrm{d}x < \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n}x \mathrm{d}x < \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-1}x \mathrm{d} x\]

根据 Wallis 积分公式得到下面不等式

\[\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} < \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2} < \frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!} \]

构造 \(A_n,B_n\)

\[A_n := \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right]^2 \frac{1}{2n+1} < \frac{\pi}{2} < \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right]^2 \frac{1}{2n} := B_n \]

得到

\[\displaystyle B_n - A_n = \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right]^2 \frac{1}{2n(2n - 1)} = A_n \cdot \frac{1}{2n} < \frac{\pi}{2}\frac{1}{2n} \rightarrow 0\]

因此 \(\lim \limits _{n \rightarrow \infty} A_n = \lim \limits _{n \rightarrow \infty} B_n = \frac{\pi}{2}\)。