高斯公式

从数值积分的一般格式我们可以看出，在进行数值积分时，最重要的两个要素是权重和求积节点，前面我们证明了如果数值积分要达到一定的精度要求，则权重是完全可以计算得到的，但是并未说明求积节点应该如何选择。牛顿-柯斯特为了数值格式的简单、方便，选择了等间距的节点作为求积节点，但是这并没有充分「压榨」数值积分的自由度，而 Gauss 积分就是将求积节点的自由度「榨干」，以达到同等节点个数情况下最高的代数精度。

• 在阅读 Gauss 积分前，需要熟悉「数值逼近-正交多项式」的相关知识。

Gauss 积分公式的定义¶

这里我们直接给出 Gauss 积分公式的定义

定义(Gauss 积分)

\(I\) 是给定积分区间， \(I\) 上以 \(w(x)\) 为权的正交多项式 \(P_n(x)\) 的零点为 \(x_1,\cdots,x_n\) ，则以这些零点作为积分节点的数值积分格式

\[ I_n(f) = \sum\limits_{i = 1}^n \alpha_i f(x_i) \]

被称为 Gauss 积分公式

Gauss 积分公式的精度¶

下面分析 Gauss 积分公式的精度

命题(Gauss 积分精度)

Gauss 积分公式 \(I_n(f)\) 具有 \(2n-1\) 阶代数精度

证明：记正交多项式 \(P_n(x)\) 的零点为 \(x_1,\cdots,x_n\)，记

\[q(x) = (x-x_1)\cdots (x-x_n) \]

则显然有 \(P_n(x) = \alpha q(x)\) 。对任意 \(f(x) \in \mathbb{P}_{2n-1}\) ，记 \(g(x)\) 为 \(f(x)\) 在 \(x_1,\cdots,x_n\) 上的插值多项式，显然 \(g(x) \in \mathbb{P}_{n-1}\)，且

\[ \forall i = 1,\cdots,n , \quad f(x_i) - g(x_i) = 0 \]

因此根据余数定理不难得到 \(f(x) - g(x) = q(x) r(x)\) ，其中 \(r(x) \in \mathbb{P}_{n-1}\)，不难得到 Gauss 积分公式关于 \(\int_I f(x)w(x)\mathrm{d} x\) 是精确的：

\[ \begin{align*} \int_I f(x)w(x)\mathrm{d} x &= \int_I g(x)w(x)\mathrm{d} x + \int_I q(x)r(x)w(x)\mathrm{d} x \\ &= \sum\limits_{i = 1}^n g(x_i)\alpha_i + 0\\ &= \sum\limits_{i = 1}^n f(x_i)\alpha_i = I_n(f) \end{align*} \]

其中第二个等号第一项用了 \(n\) 个求积节点，且权重按 \(\int_I l_k(x)w(x)\mathrm{d} x\) 计算时，代数精度至少有 \(n-1\) 阶，第二项用了 \(q(x) = \frac{1}{\alpha}P_n(x)\)，\(q(x) \perp \mathbb{P}_{n-1}\)，\(r(x) \in \mathbb{P}_{n-1}\) 的正交性

事实上我们也可以证明 Gauss 积分公式的 \(2n-1\) 阶精度已经是 \(n\) 个积分节点的数值积分公式能达到的精度上界了，这也是下述定理

定理(数值积分精度上界)

给定 \(n\) 个求积节点 \(x_1,\cdots,x_n \in I\)，则数值积分格式

\[ I_n(f) = \sum\limits_{i = 1}^n \alpha_i f(x_i) \]

的代数精度不超过 \(2n-1\) 阶

证明：做 \(2n\) 次函数 \(f(x) = (x-x_1)^2(x-x_2)^2\cdots (x-x_n)^2\) ，显然 \(f(x)w(x)\) 在 \(I\) 上的积分是正的：

\[ I(f) = \int_I f(x)w(x)\mathrm{d} x > 0 \]

而 \({\displaystyle I_n(f) = \sum\limits_{i = 1}^n \alpha_i f(x_i) = \sum\limits_{i = 1}^n \alpha_i \cdot 0 = 0}\)，因此得到 \(I_n(f) \neq I(f)\)，从而数值积分代数精度不超过 \(2n-1\) 阶。