GPC多项式概念

广义多项式混沌法(GPC方法)，即通过期望定义平方可积空间和正交多项式，并用这种正交多项式去逼近以随机变量为自变量的函数。

GPC 平方可积空间¶

类似于正交多项式逼近， GPC 平方可积空间即存放待逼近函数的空间。

定义(GPC 平方可积空间)

设一元随机变量 \(Z\) 服从概率分布函数 \(F_Z(z) = P(Z \leq z)\)，且满足

\[E[|Z|^{2m}] = \int_{I_Z} |z|^{2m} \mathrm{d} F_Z < \infty,\quad m \in \mathbb{N} \]

则定义以其期望为内积的平方可积空间为：

\[ L^2_{\mathrm{d}F_Z} (I_z) = \{f: I_z \rightarrow \mathbb{R}, E[f^2] < \infty\} \]

该空间上定义的范数以及内积：

• 内积：\({\displaystyle \langle f,g \rangle := E(fg)}\)
• 范数：\({\displaystyle ||f|| := E(f^2)}\)

GPC 基多项式¶

定义(GPC 基多项式)

设一元随机变量 \(Z\) 服从概率分布函数 \(F_Z(z) = P(Z \leq z)\)，且满足

\[E[|Z|^{2m}] = \int_{I_Z} |z|^{2m} \mathrm{d} F_Z < \infty,\quad m \in \mathbb{N} \]

则定义 GPC 基函数 \(\phi_n\) 为满足下面条件的正交多项式： \(\(E[\phi_m \phi_n] = \gamma_n \delta_{m,n}, \quad \gamma_n = E[\phi_n^2]\)\)

特别地，根据 \(Z\) 的分布类型，可具体表示为：

• 若 \(Z\) 连续，记其概率分布函数为 \(\rho(z)\) ， \(Z\) 的取值范围为 \(I_z\) ，则基函数正交性表示为

• 若 \(Z\) 离散，\(P(Z = z_i) = \rho_i\) ，则正交性表示为

例子(Hermite 多项式)

若 \(Z \sim N(0,1)\) ，则概论分布函数为 \(\rho(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- z^2/2}\)，则 其 GPC 基函数即 Hermite 多项式

例子(Legendre 多项式)

若 \(Z \sim U[-1,1]\) ，则 \(\rho(z) = \frac{1}{2}\) ，其 GPC 基函数即 Legendre 多项式