GPC多项式逼近论

前一节中我们介绍了平方可积空间和 GPC 多项式，本节中我们讨论通过 GPC 多项式的线性组合去逼近以随机变量为变量的函数。总共介绍强逼近以及弱逼近两种收敛情况。

GPC 正交投影(强逼近)¶

将正交多项式的理论用到 GPC 多项式中即可获得对随机变量函数的逼近，也就是下面强逼近的原理

定义(GPC 投影)

设一元随机变量 \(Z\) 服从 \(I_z\) 中概率分布函数 \(F_Z(z) = P(Z \leq z)\)，\(f \in L_{dF_z}^2(I_z)\)，GPC 正交基为 \(\phi_n(z)\) ，则 \(f\) 在 \(\{\phi_n\}\) 下的多项式投影为：

\[ P_Nf = \sum\limits_{k = 0}^N \hat{f}_k \phi_k(z),\quad \hat{f}_k = \frac{1}{\gamma_k} E(f\phi_k) \]

这种通过多项式投影得到的收敛在 GPC 理论中称为「强收敛」

定义(强逼近)

\(f(Z)\) 是随机变量 \(Z\) 的函数，\(Z\) 的分布函数为 \(F_Z(z) = P(Z \leq z)\)。若 \(f_N(z) \in \mathbb{P}_N(z)\) 满足

\[\lim \limits _{N \rightarrow \infty}||f_N - f||_{L_{F_z}^2} = 0\]

则称 \(f_N(z)\) 为 \(f\) 在 \(||\cdot||_{F_z^2}\) 意义下的强逼近。

根据传统经典的多项式逼近理论，即可得到 GPC 正交投影的存在性和唯一性，在此处不再具体展开。

弱逼近¶

有时我们不知道随机变量的函数 \(f(Z)\) 的显式表达，只知道 \(Z\) 的概率分布，则无法构造强收敛的 GPC 展开，此时可构造弱收敛意义下的逼近。

定义(弱逼近)

设随机变量 \(Y\) 是关于 \(Z\) 的不知具体表达式的函数，已知其概率分布函数 \(F_Y(y) = P(Y \leq y)\)，若 GPC 基函数 \(Y_N \in \mathbb{P}_N\) 满足

\[ Y_N \stackrel{P}{\longrightarrow} Y \]

则称 \(Y_N\) 是 \(Y\) 的 GPC 弱逼近

注意弱逼近不一定唯一

例子(弱逼近不唯一的例子)

若 \(Y \sim N(\mu,\sigma^2)\) ，\(Z \sim N(0,1)\)，以 Hermite 多项式作为基函数，则构造一次 GPC Hermite 展开有两个：

\[ \begin{cases} Y_1(Z) = \mu H_0 + \sigma H_1(Z) = \mu + \sigma Z \sim N(\mu, \sigma^2)\\ Y_2(Z) = \mu H_0 - \sigma H_1(Z) = \mu - \sigma Z \sim N(\mu,\sigma^2) \end{cases} \]