常用正交多项式

下面举例一些在现实中常用的正交多项式，每个正交多项式对应着不同的存在区间 \([a,b]\) 和权函数 \(w(x)\)，我们要根据我们希望逼近的函数 \(f(x)\) 去合理选择对应的正交多项式。

Legendre 多项式¶

定义(Legendre多项式)

定义满足以下格式的多项式 \(P_n(x)\) 为 Legendre 多项式

\[ P_n(x) = \frac{1}{2^nn!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(x^2 - 1)^n\]

注意上述定义的 Legendre 多项式并非首一多项式，也非单位多项式，但是满足较好的性质

命题(Legendre 多项式三项关系)

Legendre 多项式 \(P_{n+1}(x),P_n(x),P_{n-1}(x)\) 满足三项关系

\[ P_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{n+1}xP_n(x) - \frac{n}{n+1}P_{n-1}(x) \]

证明：直接验证即可，

Legendre 多项式最重要的性质是其满足正交性：

命题(Legendre 多项式正交性)

Legendre 多项式是区间 \([-1,1]\) 上以 \(w(x) = 1\) 为权函数的正交多项式，且满足

\[ \int_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)\mathrm{d} x = \frac{2}{2n+1} \delta_{m,n} \]

证明：

这里列出 Legendre 多项式的前几项：

• \(P_0(x) = 1\)
• \(P_1(x) = x\)
• \(P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)\)
• \(P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)\)
• \(P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30 x^2 + 3)\)

Hermite 多项式¶

定义(Hermite多项式)

区间\((-\infty, +\infty)\) 上以 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\) 为权函数的首一正交多项式称为 Hermite 多项式。

根据正交多项式三项关系可以得出 Hermite 多项式的三项关系

命题(Hermite 多项式三项关系)

Herimte 多项式满足以下三项关系

\[ H_{n+1}(x) = xH_n(x) - nH_{n-1}(x) \]

同理可以计算 Hermite 多项式的内积具体表达式

命题(Hermite 多项式内积表达式)

Hermite 多项式的内积表达式为

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} H_m(x)H_n(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mathrm{d} x = n! \delta_{m,n} \]