正交多项式基本性质

下面我们研究正交多项式的性质

正交多项式的三项关系¶

正交多项式连续三项 \(P_{n+1}, P_n, P_{n-1}\) 之间存在着递推关系，这使得正交多项式的计算非常便捷，不再需要从 \(1,x,\cdots,x^n\) 出发去进行施密特正交化。

定理(正交多项式三项关系)

正交多项式 \(P_{n+1}(x), P_n(x),P_{n-1}(x)\) 存在三项关系：

\[ P_{n+1}(x) = (a_n + b_nx)P_n(x) + c_nP_{n-1}(x) \]

证明：首先根据多项式次数关系显然得到 \(P_0(x),P_1(x),\cdots,P_n(x), xP_n(x)\) 线性无关，且其是 \(\mathbb{P}_{n+1}\) 的一组基。因此 \(P_{n+1}(x)\) 可被上述多项式线性表出，不妨设

\[ P_{n+1}(x) = a_nP_n(x) + b_nxP_n(x) + c_nP_{n-1}(x) + \sum\limits_{k = 0}^{n-2}d_kP_k(x) \]

将 \(P_{n+1}(x)\) 与 \(P_i, i = 0,1,\cdots, n-2\) 做内积，根据正交性得到

\[ \begin{align*} 0 = \langle P_{n+1}, P_i \rangle &= a_n\cdot 0 + \langle b_nx P_n, P_i \rangle + 0 + \sum\limits_{k = 0}^{n-2}d_k \langle P_k, P_i \rangle\\ &= b_n \langle xP_n, P_i \rangle + d_i \langle P_i, P_i \rangle\\ \end{align*} \]

其中第一项 \(\langle xP_n, P_i \rangle = \int_a^b x P_n P_i \mathrm{d} x = \langle P_n, x P_i \rangle\) ，而 \(xP_i \in \mathbb{P}_{n-1}\) ，根据正交性得到 \(\langle xP_n, P_i \rangle = \langle P_n, xP_i\rangle = 0\)，因此得到

\[ d_i \langle P_i, P_i \rangle = 0 \Rightarrow d_i = 0 \]

根据 \(P_{n+1}(x)\) 的线性表出表达式不难发现结论成立。

我们还可以得出三项关系的具体表达式：

定理(三项关系具体表达式)

\[ P_{n+1}(x) = (x - \frac{\langle x P_n, P_n \rangle }{\langle P_n, P_n \rangle}) P_n(x) - \frac{\langle x P_n, P_{n-1} \rangle}{\langle P_{n-1}, P_{n-1} \rangle} P_{n-1}(x)\]

证明：首先由于 \(P_{n+1},P_n,P_{n-1}\) 首项系数均为 \(1\)，可以得到递推表达式可化简为 \(P_{n+1}(x) = (x + a_n)P_n(x) + c_nP_{n-1}(x)\)，两侧同时与 \(P_{n-1}(x)\) 做内积可以得到

\[ \begin{align*} 0 = \langle P_{n+1}, P_{n-1} \rangle &= \langle a_nP_n, P_{n-1} \rangle + \langle xP_n, P_{n-1} \rangle + c_n \langle P_{n-1},P_{n-1} \rangle\\ &= \langle P_n,xP_{n-1} \rangle + c_n \langle P_{n-1},P_{n-1}\rangle\\ & \Rightarrow c_n = - \frac{\langle xP_n, P_{n-1} \rangle}{\langle P_{n-1}, P_{n-1}\rangle} \end{align*} \]

再两侧同时与 \(P_n\) 做内积，得到

\[ \langle P_{n+1}, P_n \rangle = a_n \langle P_n, P_n \rangle + \langle xP_n, P_{n-1} \rangle + c_n \langle P_{n-1}, P_n \rangle \]

左侧和右侧最后一项都为 \(0\) ，因此得到 \(a_n = - \frac{\langle xP_n, P_{n-1} \rangle}{\langle P_n, P_n \rangle}\)，综上结论成立

规范正交多项式三项关系¶

前面考虑的是首一正交多项式的三项关系，如果要求正交多项式是规范化的，其也有对应的三项关系。

定理(规范正交多项式三项关系)

记 \(n\) 次规范正交多项式 \(P_n^{\ast}(x) = k_nx^n + s_n x^{n-1} + \cdots\)，则规范正交多项式满足三项关系：

\[P_{n+1}^{\ast} (x) = (a_nx + b_n)P_n^{\ast}(x) - c_nP_{n-1}^{\ast}(x),\]

其中

\[a_n = \frac{k_{n+1}}{k_n}, b_n = a_n \left( \frac{s_{n+1}}{k_{n+1}} - \frac{s_n}{k_n} \right), c_n = \frac{k_{n+1}k_{n-1}}{k_n^2}.\]

证明： (1)下面省略星号 \(\ast\) ，首先 \(P_0(x),\cdots,P_n(x),xP_n(x)\) 线性无关，因此得到

\[ P_{n+1}(x) = a_nxP_n(x) + b_n P_n(x) - c_nP_{n-1}(x) + \sum\limits_{k = 0}^{n-2} d_kP_k(x)\]

对于 \(i = 0,1,\cdots,n-2\) 做 \(\langle P_{n+1}, P_i \rangle\) 内积：

\[\begin{align} \langle P_{n+1}, P_i \rangle &= a_n \langle a_n xP_n, P_i \rangle + 0 + d_i\langle P_i,P_i\rangle\\ &= a_n\langle P_n, xP_i\rangle + d_i\langle P_i,P_i\rangle = d_i\langle P_i,P_i\rangle \end{align}\]

因此得到 \(d_i = 0\) ，下面计算具体系数表达式。

根据次数比较系数显然可知\(a_n = \frac{k_{n+1}}{k_n}\)。两边同时与\(P_n\)做内积得到

\[ \begin{align} \langle P_{n+1}, P_n \rangle &= a_n \langle x P_n, P_n \rangle + b_n \langle P_n, P_n\rangle - c_n \langle P_{n-1}, P_n \rangle \\ \Rightarrow \quad & a_n \langle xP_n, P_n \rangle + b_n \langle P_n, P_n \rangle = 0\\ \Rightarrow \quad & a_n \langle k_nx^{n+1} + s_nx^n, P_n \rangle + b_n \langle k_nx^n, P_n \rangle = 0\\ \Rightarrow \quad & a_nk_n \langle x^{n+1},P_n \rangle + a_ns_n \langle x^n, P_n \rangle + b_nk_n \langle x^n, P_n \rangle = 0\\ \Rightarrow \quad & \frac{a_n k_n}{k_{n+1}} \langle k_{n+1}x^{n+1}+ s_{n+1}x^n, P_n \rangle + (a_n s_n + b_n k_n - \frac{a_n k_n s_{n+1}}{k_{n+1}})\langle x^n, P_n\rangle = 0\\ \Rightarrow \quad & a_n s_n + b_n k_n - \frac{a_n k_n s_{n+1}}{k_{n+1}}= 0\\ \Rightarrow \quad & b_n = a_n \left( \frac{s_{n+1}}{k_{n+1}} - \frac{s_n}{k_n} \right) \end{align}\]

两边同时与 \(P_{n-1}\) 做内积得到：

\[ \begin{align} \langle P_{n+1}, P_{n-1} \rangle &= a_n \langle xP_n , P_{n-1} \rangle + b_n \langle P_n, P_{n-1} \rangle - c_{n }\langle P_{n-1}, P_{n-1} \rangle\\ \Rightarrow \quad & a_n \langle P_n, xP_{n-1} \rangle - c_n \langle P_{n-1}, P_{n-1} \rangle = 0\\ \Rightarrow \quad & a_n k_{n-1} \langle P_n, x^n \rangle - c_n k_{n-1} \langle x^{n-1}, P_{n-1}\rangle = 0\\ \Rightarrow \quad & a_n \langle P_n , x^n \rangle - c_n \langle x^{n-1}, P_{n-1} \rangle = 0\\ \Rightarrow \quad & \frac{a_n}{k_n} \langle P_n ,P_n \rangle - \frac{c_n}{k_{n-1}} \langle P_{n-1}, P_{n-1} \rangle = 0 \end{align}\]

即可得到 \(\frac{a_n}{k_n} - \frac{c_n}{k_{n-1}} = 0\) ，因此 \(c_n = \frac{k_{n+1}k_{n-1}}{k_{n}^2}\)。

正交多项式根的性质¶

正交多项式的根也有着重要的性质，首先指出其有 \(n\) 个单实根

定理(正交多项式有 \(n\) 个单实根)

\([a,b]\) 上权为 \(w(x)\) 的正交多项式 \(P_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上有 \(n\) 个单实根