正交多项式概念

在内积空间中我们已经讨论过「正交」、「正交基」的概念，在 Hilbert 空间中我们讨论了「最佳逼近」的概念。这里稍微回顾一下，所谓最佳逼近问题，就是假设 \(\mathcal{H}\) 为原 Hilbert 空间，\(M\) 是 \(\mathcal{H}\) 的子空间，给定 \(f \in \mathcal{H}\) ，希望在 \(M\) 中找到一个与 \(f\) 「距离最近」的元素。

在正交多项式逼近论中，上述 Hilbert 空间 \(\mathcal{H}\) 就是下面定义的 \(L_w^2([a,b])\) 空间，是一个相对「要求宽松」的空间， 只要通过选取权函数 \(w(x)\)，绝大多数我们想逼近的目标都能被包含其中。而 \(M\) 就是 \([a,b]\) 上的 \(N\) 阶多项式空间 \(\mathbb{P}_N\)，我们希望在 \(\mathbb{P}_N\) 中找到一个多项式 \(P\) 与 \(L_w^2([a,b])\) 中给定的目标函数 \(f\) 「距离最近」。

而正交多项式便是 \(\mathbb{P}_N\) 中的一组正交基，正交多项式的引入为 \(P\) 具体表达式的计算提供了便利，因为根据线性空间的性质， \(P\) 可被 \(P_0,\cdots,P_N\) 线性表出，且 \(P_i\) 对应的系数即 \(\langle P, P_i \rangle / ||P_i||^2\)。

沿着上面的思路，我们首先要定义 \([a,b]\) 上的平方可积空间 \(L_w^2([a,b])\)，再定义正交多项式的概念。

平方可积空间¶

这里我们先引入权函数的概念，初学者可能不理解为什么在积分中要再加个权函数 \(w(x)\) ，这其实是提供了一种弹性，因为如果完全固定 \(w(x)\)，此时我们希望逼近的函数 \(f\) 可能并不在 \(L_w^2([a,b])\) 中，这样正交多项式逼近理论就失效了(因为 \(f\) 甚至不在原空间中，更何谈逼近一说？)。因此简洁来说设置 \(w(x)\) 的目的是通过合适的选取，让我们想要逼近的目标函数 \(f\) 能够位于 \(L_w^2([a,b])\) 中，从而应用正交多项式理论。

定义(权函数)

\(w(x)\) 是定义在区间 \([a,b]\) (\(a,b\) 可以取 \(\pm \infty\))，满足 \(w(x) \geq 0\)，\(\int_a^b w(x)\mathrm{d} x > 0\)，且对 \(\forall k \in \mathbb{N}, \int_a^b x^kw(x)\mathrm{d} x\) 存在，则其可以为权函数。

有了权函数 \(w(x)\) 我们就可以定义一个关于 \(w(x)\) 平方可积的函数空间 \(L_w^2[a,b]\)，也就是我们目标逼近函数所在的空间。

定义(\(L_w^2[a,b]\)空间)

\(L_w^2([a,b])\) 空间为区间 \([a,b]\) 上所有以 \(w(x)\) 为权的平方可积函数组成的集合，即

\[ L_w^2([a,b]) = \{f(x): \int_a^b f^2(x)w(x)\mathrm{d} x < \infty\} \]

可以验证 \(L_w^2([a,b])\) 空间为 Hilbert 空间(此处不给出证明，类似证明可见泛函分析基础-Hilbert空间)，且有以下的内积和范数

定义(\(L_w^2([a,b])\)的内积与范数)

设 \(f,g \in L_w^2([a,b])\) ，则它们的内积定义为

\[ \langle f,g \rangle := \int_a^b f(x)g(x)w(x)\mathrm{d} x \]

根据内积空间范数定义，可得出 \(f\) 的范数为 \(||f|| = \int_a^b f^2(x)w(x)\mathrm{d} x\)

正交多项式的概念¶

不难验证阶数不大于 \(N\) 次的多项式空间 \(\mathbb{P}_N\) 是 \(L_w^2([a,b])\) 的一个子空间(此处不证)，因此我们可以计算出 \(\mathbb{P}_N\) 关于 \(L_w^2([a,b])\) 空间内积的一组正交基，这组基就称为正交多项式。

定义(正交多项式)

在 \(L_w^2([a,b])\) 中，从 \(1,x,x^2,\cdots\) 出发，按施密特正交化过程得到的多项式 \(P_0(x),P_1(x),\cdots\) 称为 \([a,b]\) 上以 \(w(x)\) 为权的正交多项式

根据施密特正交化的过程不难发现以上述过程得到的正交多项式有如下性质：

• \(P_k(x)\) 是首项系数(\(x^k\) 的系数)为 1 的 \(k\) 次多项式
• \(P_0(x),\cdots, P_N(x)\) 组成了阶数不大于 \(N\) 次的多项式空间 \(\mathbb{P}_N\) 的一组基

类似于内积空间中的规范正交基，我们也可以定义规范正交多项式

定义(规范正交多项式)

设 \(P^{\ast}_k(x)\) 是 \([a,b]\) 上以 \(w(x)\) 为权的正交多项式，且满足

\[ \langle P_i^{\ast} , P_j^{\ast} \rangle = \delta_{i,j} = \begin{cases} 1, & i = j\\ 0, & i \neq j \end{cases} \]

则称 \(P_k^{\ast}\) 为 \(L_w^2([a,b])\) 空间的规范正交多项式