正交多项式逼近

前面几节中我们引入了正交多项式的概念及其基本性质，在本节中我们正式考虑 \(L_w^2\) 空间中函数 \(f\) 在多项式空间 \(\mathbb{P}_n\) 中的投影，也就是用多项式去逼近函数 \(f\)。

正交投影¶

定义(正交投影)

正交投影算子 \(P_n\) 定义为平方可积空间 \(L_w^2(I)\) 到多项式空间 \(\mathbb{P}_n\) 的映射 \(P_n : L_w^2(I) \rightarrow \mathbb{P}_n\) ，并保持内积的不变：

\[ \langle f, \phi_i \rangle = \langle P_n f, \phi_i \rangle \]

根据上述正交投影的概念以及内积的性质，可以具体算出 \(f\) 在 \(\mathbb{P}_n\) 中投影的具体表达式：

命题(正交投影的表达式)

\(f\) 在多项式空间的正交投影 \(P_nf\) 可表达为

\[ P_nf = \sum\limits_{i = 0}^n \hat{f}_i\phi_i(x), \quad \hat{f}_i = \frac{1}{||\phi_i||_{L^2_w}^2} \langle f, \phi_i \rangle \]

其中 \(\phi_0, \cdots, \phi_n\) 是 \(\mathbb{P}_n\) 空间的基。