二重积分

二重积分的概念与计算¶

定义(二重积分)

设 \(D \subset \mathbb{R}^2\) 是有界集，对 \(D\) 做分割 \(T = \{\sigma_1,\cdots,\sigma_n\}\) ，则二重积分定义为

\[ \iint _D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \lim \limits _{||T|| \rightarrow 0}\sum\limits_{i = 1}^n f(\xi_i,\eta_i) S(\sigma_i) , \quad (\xi_i,\eta_i) \in \sigma_i \]

其中 \(\sigma_i\) 表示划分后的二维区域， \(||T|| = \max S(\sigma_i)\)

二重积分最直接的计算方式是转换为累次积分，每次对一个变量做积分进行计算

命题(二重积分与累次积分)

对于 \(D = [a,b] \times [c,d]\) 或者 \(D = [a,b] \times [f_1(x),f_2(x)]\)，方形边界二重积分可随意转换为累次积分，函数边界先积分函数边界

\[ \iint _D f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int ^b_a \mathrm{d}x \int^d_c f(x,y)\mathrm{d}y , \quad \iint_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int ^b_a \mathrm{d}x \int^{f_2(x)}_{f_1(x)}f(x,y)\mathrm{d}y \]

二重积分换元法¶

当积分区域较复杂时，也可以像定积分换元法一样对二重积分变量进行换元

定理(二重积分换元法)

原二重积分坐标轴 \(x,y\) ，区域为 \(R\) ，令 \(u = u(x,y), v = v(x,y)\) 反解出 \(x = x(u,v)\)，\(y = y(u,v)\)，变换后的区域为 \((u,v) \in \Omega\) ，则

\[ \iint _R f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \iint_{\Omega} f(x(u,v), y(u,v))\left\vert J(u,v)\right\vert \mathrm{d}u \mathrm{d}v \]

其中 \({\displaystyle J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \left| \begin{array}{cc} x^{\prime}_u&x^{\prime}_v\\ y^{\prime}_u& y^{\prime}_v \end{array} \right| }\)，\(|J(u,v)|\) 表示绝对值。

二重积分极坐标换元¶

命题(二重积分极坐标换元)

对于二重积分 \(\iint_S f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\) ，做极坐标换元 \(x = r \cos \theta, y = r \sin \theta\) ，此时 \(J(r,\theta) = r\)

\[ \iint_S f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \mathrm{d}\theta \int_{r_1}^{r_2} f(x(r,\theta), y(r,\theta)) r \mathrm{d} r \]

积分时一般先 \(\mathrm{d}r\) 后 \(\mathrm{d}\theta\) 。