广义导数

在引入 Sobolev 空间之前，必须先引入广义导数的概念。所谓广义导数，即能类似于导数一样描述函数的性质，且其存在性对于函数的光滑性要求没那么高。

记号说明¶

这里总结一下后续内容会使用的记号

• \(u\) 的支集 \(\mathrm{supp}(u)\)：\(\mathrm{supp}(u) := \overline{\{x: x \in \Omega, u(x) \neq 0\}}\)
• \(u\) 在 \(\Omega\) 中具有紧支集 \(\mathrm{supp}(u) \subset \subset \Omega\)：\(\mathrm{supp}(u) \subset \Omega\) 且 \(\mathrm{supp}(u) \cap \partial \Omega = \phi\) ，意味着 \(u\) 在 \(\partial\Omega\) 的函数值为 \(0\)
• \(D(\Omega)\) 表示在 \(\Omega\) 中具有紧支集且无穷次连续可微的函数集合：\(D(\Omega) := \{u: u \in C^{\infty}(\Omega), \mathrm{supp}(u) \subset \subset \Omega\}\)
• \(L_{loc}^1(\Omega)\) 表示在 \(\Omega\) 中任意紧集中 \(L^1\) 可积的函数组成的集合：\(L_{loc}^1(\Omega) := \{f: f \in L^1(\Omega_1)\}\)，其中 \(\Omega_1 \subset \Omega\) 为任意紧集。

广义导数的概念¶

下面我们给出广义导数的定义

定义(广义导数)

对于 \(f(x) \in L_{loc}^1(\Omega)\) ，若存在 \(g(x) \in L_{loc}^1(\Omega)\) 使得

\[\int_{\Omega} g(x)\varphi(x)\mathrm{d} x = (-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} f(x)\partial^{\alpha}\varphi(x)\mathrm{d} x, \quad \forall \varphi(x) \in D(\Omega)\]

则称 \(g(x)\) 为 \(f(x)\) 的 \(|\alpha|\) 阶广义导数，记为 \(D^{\alpha} f(x) = g(x)\)

这个定义看似比较复杂，其实就是以「分部积分」的格式推广了导数的概念，例如 \(|\alpha| = 1, \Omega = [a,b]\) 时，如果 \(f(x)\) 可导，则右侧根据分部积分即

不难发现，当 \(f(x)\) 可导时，其广义导数就是导数本身。