Sobolev空间概念

Sobolev 空间定义¶

下面我们引入 Sobolev 空间的概念

定义(Sobolev空间)

给定 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) \(m \in \mathbb{Z}^+\)，\(1 \leq p < \infty\)，则 Sobolev 空间 \(H^{m,p}(\Omega)\) 定义为

\[ H^{m,p}(\Omega) := \{v : D^{\alpha} v \in L^p(\Omega), \forall |\alpha| \leq m\} \]

这里 \(D\) 表示广义导数， \(m\) 用于指定广义导数阶， \(p\) 用于指定 \(L^p\) 可积类型

实际在有限元方法中研究的 Sobolev 空间大多要求内部元素无穷次可微且有紧支集，因此引入 \(H_0^{m,p}(\Omega)\) 指 \(D(\Omega)\) （含义见广义导数一节）在 \(H^{m,p}(\Omega)\) 中的闭包。
类似于 \(L^p\) 空间，绝大多数情况下 \(H^{m,p}(\Omega)\) 空间并非内积空间，只有 \(p = 2\) 时 \(H^{m,2}(\Omega)\) 才为 Hilbert 空间。因此 \(p = 2\) 时，我们将 \(H^{m,2}(\Omega)\) 简记为 \(H^m(\Omega)\)。

由于记号比较复杂，这里举个例子，例如

\[ H_0^2(\Omega) = \{v: v \in H^2(\Omega), v|_{\Gamma} = \frac{\partial v}{\partial \mathbf{n}} \bigg|_{\Gamma} = 0\} \]

Sobolev 空间范数与半范数¶

不难验证 Sobolev 空间是线性空间(此处不证)，根据指定的 \(p\) 可以给 Sobolev 空间指定范数

定义(Sobolev 空间范数)

给定 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\)， \(m \in \mathbb{Z}^+\)，若 \(1 \leq p < \infty\)，则 \(H^{m,p}\) 空间的范数定义为

\[ ||u||_{H^{m,p}(\Omega)} := \left( \sum\limits_{|\alpha| \leq m} ||D^{\alpha} u ||_{L^p(\Omega)}^p \right)^{1/p}\]

若 \(p = \infty\) 则 \(H^{m,\infty}(\Omega)\) 空间范数定义为

\[ ||u||_{H^{m,\infty}(\Omega)} := \sup \limits_{|\alpha| \leq m} ||D^{\alpha}u||_{L^\infty(\Omega)}\]

其中 \({\displaystyle ||u||_{L^p(\Omega)} := \left( \int_{\Omega} |u|^p\mathrm{d} x \right)^{1/p}}\) ， \({\displaystyle ||u||_{L^{\infty}(\Omega)} = \inf \limits_{\Omega_0, m(\Omega_0) = 0} \{\sup \limits_{x \in \Omega - \Omega_0} |u(x)|\} }\)

同样，这里举个例子，例如有下面的表达式：

\[ ||\Delta v||_{H^0(\Omega)}^2 = \int_{\Omega} \left( \sum\limits_{i = 1}^n (\partial_{ii}v)^2 + \sum\limits_{i \neq j} \partial_{ii}v \partial_{jj}v \right)\mathrm{d} x \]

同时验证 Sobolev 空间关于上述范数是 Banach 空间(此处不证)。Sobolev 空间除了范数外，还可以通过限制广义导数的阶数定义半范数

定义(Sobolev 空间半范数)

当 \(1 \leq p < \infty\) 时可以定义 Sobolev 空间 \(H^{m,p}(\Omega)\) 的半范数：

\[ |u|_{H^{m,p}(\Omega)} := \left( \sum\limits_{|\alpha| = m} ||D^{\alpha}u||_{L^p(\Omega)} \right)^{1/p} \]

当 \(p = \infty\) 时 Sobolev 空间 \(H^{m,\infty}(\Omega)\) 的半范数定义为：

\[ |u|_{H^{m,\infty}(\Omega)} := \sup \limits_{|\alpha| = m} ||D^{\alpha}u|| _{L^{\infty}(\Omega)}\]

Sobolev 空间内积¶

定义(Sobolev 空间内积)

若 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\)，对 \(\forall u,v \in H^m(\Omega)\) ，它们的内积定义为

\[ \langle u, v \rangle_m := \sum\limits_{|\alpha| \leq m} \int_{\Omega} D^{\alpha} u \cdot D^{\alpha} v \mathrm{d} x\]