Sobolev等价范数
由于有时需要在 Sobolev 空间中研究函数逼近的误差，因此需要研究 Sobolev 空间中范数的等价性。
范数与半范的等价性¶
当区域 \(\Omega\) 满足一定的条件时， \(H^{m,p}(\Omega)\) 中的范数和半范具有等价性，这也是 Poincare-Friedrich 的意义：
定理(Poincare-Friedrich不等式)
若 \(\Omega\) 是单联通的，且至少在一个方向有界，则对 \(\forall m \in \mathbb{Z}_+\) ，存在正常数 \(C(m)\) 使得
\[ ||v||_{H^m(\Omega)} \leq C(m) |v|_{H^m(\Omega)}, \quad \forall v \in H_0^m(\Omega) \]
特别地，\(m = 1\) 时，适当放缩可以获得以下这个常用的不等式
推论
对于任意 \(u \in H_0^1(\Omega)\) 满足
\[ ||u||_{H^1(\Omega)} \leq C \left( \left| \int_{\Omega} u\mathrm{d} \mathbf{x} \right|^2 + |u|^2_{H^1(\Omega)} \right)^{1/2} \]